Εξέλιξη πολιτικών σχηματισμών
Μοντελοποίηση της πορείας στο χρόνο μιας πολιτικής οντότητας με τη βοήθεια ολοκληρωτικής εξίσωσης
Θεμελίωση μοντέλου
Έστω ότι έχουμε έναν πολιτικό σχηματισμό (εδώ, για λόγους ευκολίας, θα λέμε «κόμμα») που:
- τη χρονική στιγμή $0$ έχει πληθυσμό $n_0$, ενώ $t$ χρονικές μονάδες μετά (εδώ, για λόγους ευκολίας, θα λέμε «χρόνια») έχει πληθυσμό $n(t)$,
- τη χρονιά $t$ στο κόμμα ρέουν νέα μέλη με ρυθμό $r(t)$ άτομα ανά έτος,
- τη χρονιά $t$ κάθε μέλος του κόμματος εισάγει στην οργάνωση $f(t)$ άτομα το χρόνο,
- για χρονικό διάστημα $\Delta t=t_2-t_1$ στο κόμμα παραμένει ποσοστό $s\left(\Delta t\right)$ του πληθυσμού που είχε τη χρονική στιγμή $t_1$.
Από παραπάνω έχουμε ότι για χρονικό διάστημα $\left[\tau,\tau+d\tau\right] $τα νέα μέλη που έρχονται στο κόμμα κατόπιν πολιτικής ζύμωσης με τα μέλη του είναι $f(\tau)n(\tau)d\tau$, άρα τα συνολικά μέλη θα είναι $\left(r(\tau)+f(\tau)n(\tau)\right)d\tau$. Από αυτά θα παραμείνουν στο κόμμα μέχρι τη χρονική στιγμή $t$ τα $s(t-\tau)\cdot\left(r(\tau)+f(\tau)\cdot n(\tau) \right)d \tau$ μέλη. Λαμβάνοντας υπ' όψιν όλες τις ενδιάμεσες χρονιές του διαστήματος $[0,t]$ έχουμε ότι στο έτος $t$ θα έχουν προκύψει/παραμείνει:
\[
\sum_{\tau}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau)\cdot n(\tau) \right)d \tau\text{ νέα μέλη }=\int_{0}^{t}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau) n(\tau) \right)d \tau\text{ νέα μέλη}.
\]
Συνεπώς, ο συνολικός πληθυσμός των κομματικών μελών το έτος $t$ θα είναι:
\[
s(t)n_0+\int_{0}^{t}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau) n(\tau) \right)d \tau.
\]
Καταλήγουμε στην κάτωθι ολοκληρωτική εξίσωση Volterra δευτέρου είδους τύπου συνελίξεως:
\[
n(t)=s(t)n_0+\int_{0}^{t}s(t-\tau)\left(r(\tau)+f(\tau) n(\tau) \right)d \tau
\]
Γνωρίζουμε τις δυνάμεις δημιουργίας και καταστροφής και ψάχνουμε τον πληθυσμό.
Εν προκειμένω θα θεωρήσουμε ότι:
- αρχικά το κόμμα είχε $n_0$ μέλη,
- η πιθανότητα κάποιος να αποχωρήσει μέσα σε $\Delta t$ έτη από το κόμμα ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο $\frac{1}{t_0}$, δηλαδή κατά μέσο όρο κάποιος αποχωρεί στα $t_0$ έτη από το κόμμα, επομένως $s(t)=\exp\left(-\frac{t}{t_0}\right)$,
- υπάρχει σταθερός ρυθμός έξωθεν προσέλευσης μελών, $r(t)=\rho$ μέλη το χρόνο,
- κάθε άτομο κάνει πετυχημένο σταθερό «ψηστήρι» σε $f(t)=\phi$ άτομα.
Έχουμε, δηλαδή την κάτωθι ολοκληρωτική εξίσωση.
\[
n(t)=n_0\exp\left(-\frac{t}{t_0}\right)+\int_{0}^{t}\exp\left(-\frac{t-\tau}{t_0}\right)\left(\rho+\phi\cdot n(\tau) \right)d \tau
\]
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Leibniz έχουμε:
\[
n'(t)=-\frac{n_0}{t_0}\exp\left(-\frac{t}{t_0}\right)-\frac{1}{t_0}\int_{0}^{t}\exp\left(-\frac{t-\tau}{t_0}\right)\left(\rho+\phi\cdot n(\tau) \right)d \tau+\rho+\phi\cdot n(t)
\]
ή ισοδύναμα:
\[
t_0\cdot n'(t)=-n_0\exp\left(-\frac{t}{t_0}\right)-\int_{0}^{t}\exp\left(-\frac{t-\tau}{t_0}\right)\left(\rho+\phi\cdot n(\tau) \right)d \tau+\rho t_0+\phi t_0\cdot n(t)
\]
Από την 1η και την τελευταία εξίσωση έχουμε τη Σ.Δ.Ε.:
\[
n(t)+t_0\cdot n'(t)=\rho t_0+\phi t_0\cdot n(t)\Leftrightarrow t_0\cdot n'(t)=\rho t_0+(\phi t_0-1)\cdot n(t)
\]
Υπό αυτές τις συνθήκες έχουμε ότι τη χρονική στιγμή $t$ στο κόμμα θα βρίσκονται:
Clear["Global`*"]
eq = t0*n'[t] == ρ*t0+(φ*t0-1)n[t];
init = n[0]==n0;
DSolve[{eq,init},n[t],t]//Simplify
\[{{n(t)\to \frac{-t0 \rho +(E^{t (-\frac{1}{t0}+\varphi )}) (t0 \rho +n0 (-1+t0 \varphi ))}{-1+t0 \varphi }}}\]
Σύμφωνα με τις συνθήκες που υποθέσαμε όλα κρίνονται από τη σχέση του ρυθμού αποχώρησης ($\frac{1}{t_0}$) με τον ρυθμό επιρροής των μελών ($\phi$):
- Αν $\phi>\frac{1}{t_0}$, τότε ο πληθυσμός εκτοξέυεται στο άπειρο.
- Αν $\phi<\frac{1}{t_0}$, τότε ο πληθυσμός φθίνει μέχρι την τιμή $n(+\infty)=\frac{\rho}{\frac{1}{t_0}-\phi}$.
- Αν $\phi<\frac{1}{t_0}$, τότε δεν αποδίδει ο τύπος αυτός της λύσης και λαμβάνουμε υπ' όψιν απλά τη Σ.Δ.Ε. $n'(t)=\rho$, ήτοι $n(t)=\rho t+n_0$, επομένως και πάλι έχουμε εκτόξευση στο άπειρο, αλλά με γραμμικό τρόπο αυτή τη φορά.
Προφανώς κάναμε κάποιες εξειδανικευμένες και καθόλου αυτονόητες παραδοχές, αλλά αυτά τα αποτελέσματα δείχνουν το πόσο σημαντική είναι η εσωτερική δουλειά των μελών του κόματος.
Γνωρίζουμε τις δυνάμεις δημιουργίας και τον πληθυσμό και ψάχνουμε τις δυνάμεις καταστροφής.